$$$\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=k$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{k \int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{k}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = k du$$$ となります。

したがって、

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

この積分（正弦積分）には閉形式はありません:

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = k {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{k}$$$:

$$k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A