$$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{3}}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{3}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u^{3}} d u}\right)}}$$

$$$n=-3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{-3} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=- {\color{red}{\left(- \frac{u^{-2}}{2}\right)}}=- {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{-2}}{2} = \frac{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{-2}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} d x} = \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} d x} = \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx = \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + C$$$A