$$$\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}$$$の積分

$$$\int \left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=\cos{\left(t \right)} + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{\prime }dt = - \sin{\left(t \right)} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(t \right)} dt = - du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- u\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- u\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u d u}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{u d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(t \right)} + 1$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)}}^{2}}{2}$$

したがって、

$$\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t} = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t} = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2}+C$$

$$$\int \left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\, dt = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2} + C$$$A