$$$\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)}\, du$$$ を求めよ。

$$$v=\frac{3 u}{5}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\frac{3 u}{5}\right)^{\prime }du = \frac{3 du}{5}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{5 dv}{3}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{5 \sin{\left(v \right)}}{3} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{5}{3}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \sin{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{5 \sin{\left(v \right)}}{3} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{5 \int{\sin{\left(v \right)} d v}}{3}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$です:

$$\frac{5 {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}}}{3} = \frac{5 {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$v=\frac{3 u}{5}$$$:

$$- \frac{5 \cos{\left({\color{red}{v}} \right)}}{3} = - \frac{5 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{3 u}{5}\right)}} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)} d u} = - \frac{5 \cos{\left(\frac{3 u}{5} \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)} d u} = - \frac{5 \cos{\left(\frac{3 u}{5} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)}\, du = - \frac{5 \cos{\left(\frac{3 u}{5} \right)}}{3} + C$$$A