$$$\sin{\left(10 x \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(10 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=10 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(10 x\right)^{\prime }dx = 10 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{10}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sin{\left(10 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{10} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{10}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{10} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{10}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{10} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{10}$$

次のことを思い出してください $$$u=10 x$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{10} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(10 x\right)}} \right)}}{10}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(10 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(10 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10}+C$$

$$$\int \sin{\left(10 x \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10} + C$$$A