$$$\sec^{4}{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

正割を2つ取り出し、残りはすべて正接で表し、$$$\alpha=x$$$ を用いる公式 $$$\sec^2\left( \alpha \right)=\tan^2\left( \alpha \right) + 1$$$ を用いる:

$${\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{u^{2} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$u + {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u + {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u + {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} + \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{3}}{3}$$

したがって、

$$\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx = \left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right) + C$$$A