$$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{2 \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{2 \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(2 \int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$\tan{\left({\color{red}{u}} \right)} = \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} d x} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} d x} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A