$$$\sec{\left(\theta \right)}$$$の積分

$$$\int \sec{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$ を求めよ。

正割関数を$$$\sec\left(\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\theta\right)}$$$として書き換える:

$${\color{red}{\int{\sec{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(\theta \right)}} d \theta}}}$$

公式 $$$\cos\left(\theta\right)=\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$$$ を用いて余弦を正弦で表し、次に2倍角の公式 $$$\sin\left(\theta\right)=2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$$ を用いて正弦を書き換えなさい。:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(\theta \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d \theta}}}$$

分子と分母に$$$\sec^2\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$を掛ける:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d \theta}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }d\theta = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} d\theta$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} d\theta = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\sec{\left(\theta \right)} d \theta} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sec{\left(\theta \right)} d \theta} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \sec{\left(\theta \right)}\, d\theta = \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right) + C$$$A