$$$\ln\left(n\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(n\right)\, dn$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(n \right)} d n}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(n \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dn$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(n \right)}\right)^{\prime }dn=\frac{dn}{n}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d n}=n$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(n \right)} d n}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(n \right)} \cdot n-\int{n \cdot \frac{1}{n} d n}\right)}}={\color{red}{\left(n \ln{\left(n \right)} - \int{1 d n}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dn = c n$$$ を適用する:

$$n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{\int{1 d n}}} = n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{n}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \ln{\left(n \right)} - n$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(n\right)\, dn = n \left(\ln\left(n\right) - 1\right) + C$$$A