$$$\ln\left(3 x\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(3 x\right)\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=3 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{c}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dc}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{3}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{3} = \frac{u \ln{\left(u \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{u}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{3} + \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = - \frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{3} + \frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(3 x \right)} d x} = x \ln{\left(3 x \right)} - x$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(3 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(3 \right)}\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(3 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(3 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(3 x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1 + \ln\left(3\right)\right) + C$$$A