$$$\ln\left(1 - x\right)$$$の積分
入力内容
$$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$u=1 - x$$$ とする。
すると $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$
積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$を用いてください。
$$$\operatorname{\mu}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。
したがって、$$$\operatorname{d\mu}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。
したがって、
$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$
$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:
$$- u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{u}}$$
次のことを思い出してください $$$u=1 - x$$$:
$${\color{red}{u}} - {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = {\color{red}{\left(1 - x\right)}} - {\color{red}{\left(1 - x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(1 - x\right)}} \right)}$$
したがって、
$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = - x - \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} + 1$$
簡単化せよ:
$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)$$
積分定数を加える:
$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)+C$$
解答
$$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx = \left(x - 1\right) \left(\ln\left(1 - x\right) - 1\right) + C$$$A