$$$e^{\frac{u}{2}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du$$$ を求めよ。

$$$v=\frac{u}{2}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = 2 dv$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$です:

$$2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\frac{u}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{v}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} + C$$$A