$$$e^{a x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{a x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=a x$$$ とする。

すると $$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{a}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{a}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

次のことを思い出してください $$$u=a x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

したがって、

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A