$$$e^{8 x}$$$の積分

$$$\int e^{8 x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=8 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(8 x\right)^{\prime }dx = 8 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{8}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{8 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{8} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{8} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{8}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{8} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{8}$$

次のことを思い出してください $$$u=8 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{8} = \frac{e^{{\color{red}{\left(8 x\right)}}}}{8}$$

したがって、

$$\int{e^{8 x} d x} = \frac{e^{8 x}}{8}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{8 x} d x} = \frac{e^{8 x}}{8}+C$$

$$$\int e^{8 x}\, dx = \frac{e^{8 x}}{8} + C$$$A