$$$e^{5 x}$$$の積分

$$$\int e^{5 x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=5 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{5}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{5 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{5}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

次のことを思い出してください $$$u=5 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{e^{{\color{red}{\left(5 x\right)}}}}{5}$$

したがって、

$$\int{e^{5 x} d x} = \frac{e^{5 x}}{5}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{5 x} d x} = \frac{e^{5 x}}{5}+C$$

$$$\int e^{5 x}\, dx = \frac{e^{5 x}}{5} + C$$$A