$$$e^{4 u}$$$の積分

$$$\int e^{4 u}\, du$$$ を求めよ。

$$$v=4 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{4}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{4 u} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{4}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$v=4 u$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{v}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 u\right)}}}}{4}$$

したがって、

$$\int{e^{4 u} d u} = \frac{e^{4 u}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{4 u} d u} = \frac{e^{4 u}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 u}\, du = \frac{e^{4 u}}{4} + C$$$A