$$$e^{4 \theta}$$$の積分

$$$\int e^{4 \theta}\, d\theta$$$ を求めよ。

$$$u=4 \theta$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 \theta\right)^{\prime }d\theta = 4 d\theta$$$（手順は»で確認できます）、$$$d\theta = \frac{du}{4}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{4 \theta} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 \theta$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 \theta\right)}}}}{4}$$

したがって、

$$\int{e^{4 \theta} d \theta} = \frac{e^{4 \theta}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{4 \theta} d \theta} = \frac{e^{4 \theta}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 \theta}\, d\theta = \frac{e^{4 \theta}}{4} + C$$$A