$$$e^{- 6 w}$$$の積分

$$$\int e^{- 6 w}\, dw$$$ を求めよ。

$$$u=- 6 w$$$ とする。

すると $$$du=\left(- 6 w\right)^{\prime }dw = - 6 dw$$$（手順は»で確認できます）、$$$dw = - \frac{du}{6}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{- 6 w} d w}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{6}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{6}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{6}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

次のことを思い出してください $$$u=- 6 w$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{6} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 6 w\right)}}}}{6}$$

したがって、

$$\int{e^{- 6 w} d w} = - \frac{e^{- 6 w}}{6}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- 6 w} d w} = - \frac{e^{- 6 w}}{6}+C$$

$$$\int e^{- 6 w}\, dw = - \frac{e^{- 6 w}}{6} + C$$$A