$$$e^{- 3 x}$$$の積分

$$$\int e^{- 3 x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- 3 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- 3 x\right)^{\prime }dx = - 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{du}{3}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{- 3 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=- 3 x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 3 x\right)}}}}{3}$$

したがって、

$$\int{e^{- 3 x} d x} = - \frac{e^{- 3 x}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- 3 x} d x} = - \frac{e^{- 3 x}}{3}+C$$

$$$\int e^{- 3 x}\, dx = - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$$$A