$$$e^{- \frac{3 x}{4}}$$$の積分

$$$\int e^{- \frac{3 x}{4}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{3 x}{4}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{3 x}{4}\right)^{\prime }dx = - \frac{3 dx}{4}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{4 du}{3}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{4}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{4 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$:

$$- \frac{4 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{4 e^{{\color{red}{\left(- \frac{3 x}{4}\right)}}}}{3}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x} = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x} = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}+C$$

$$$\int e^{- \frac{3 x}{4}}\, dx = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + C$$$A