$$$e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}\right)^{\prime }dt = - \frac{141 p}{800} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - \frac{800 du}{141 p}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{800 e^{u}}{141 p}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{800}{141 p}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{800 e^{u}}{141 p}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{800 \int{e^{u} d u}}{141 p}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{800 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{141 p} = - \frac{800 {\color{red}{e^{u}}}}{141 p}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}$$$:

$$- \frac{800 e^{{\color{red}{u}}}}{141 p} = - \frac{800 e^{{\color{red}{\left(- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}\right)}}}}{141 p}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}} d t} = - \frac{800 e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}}}{141 p}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}} d t} = - \frac{800 e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}}}{141 p}+C$$

$$$\int e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}}\, dt = - \frac{800 e^{- \frac{141 p t}{800} + \frac{1673}{500}}}{141 p} + C$$$A