$$$\cos{\left(\frac{t}{a} \right)}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{t}{a}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{t}{a}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{a}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = a du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=a$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{a \int{\cos{\left(u \right)} d u}}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$a {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = a {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{t}{a}$$$:

$$a \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = a \sin{\left({\color{red}{\frac{t}{a}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)} + C$$$A