$$$- x^{2} + \frac{1}{a^{2}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \left(- x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{a^{2}} d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$

$$$c=\frac{1}{a^{2}}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2}} d x}}} = - \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x}{a^{2}}}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{x^{2} d x}}} + \frac{x}{a^{2}}=- {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}} + \frac{x}{a^{2}}=- {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}} + \frac{x}{a^{2}}$$

したがって、

$$\int{\left(- x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)d x} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{a^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)d x} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{a^{2}}+C$$

$$$\int \left(- x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)\, dx = \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{a^{2}}\right) + C$$$A