$$$\cot{\left(\pi x \right)}$$$の積分

$$$\int \cot{\left(\pi x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\pi x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\pi x\right)^{\prime }dx = \pi dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{\pi}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cot{\left(\pi x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cot{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\pi}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cot{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cot{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cot{\left(u \right)} d u}}{\pi}}}$$

余接関数を$$$\cot\left( u \right)=\frac{\cos\left( u \right)}{\sin\left( u \right)}$$$として書き換えなさい:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cot{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} d u}}}}{\pi}$$

$$$v=\sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(u \right)} du = dv$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{\pi}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{\pi}$$

次のことを思い出してください $$$v=\sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{\pi} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}\right| \right)}}{\pi}$$

次のことを思い出してください $$$u=\pi x$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)}}{\pi} = \frac{\ln{\left(\left|{\sin{\left({\color{red}{\pi x}} \right)}}\right| \right)}}{\pi}$$

したがって、

$$\int{\cot{\left(\pi x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\sin{\left(\pi x \right)}}\right| \right)}}{\pi}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cot{\left(\pi x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\sin{\left(\pi x \right)}}\right| \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \cot{\left(\pi x \right)}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\sin{\left(\pi x \right)}}\right|\right)}{\pi} + C$$$A