$$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x y$$$ とする。

すると $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{y}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{y \cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{y}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{y \cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}{y}}}$$

被積分関数を正割関数で表しなさい:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{y}$$

次のことを思い出してください $$$u=x y$$$:

$$\frac{\tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = \frac{\tan{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}\, dx = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y} + C$$$A