$$$\cos{\left(x e^{3} \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x e^{3}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x e^{3}\right)^{\prime }dx = e^{3} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{e^{3}}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=e^{-3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{e^{3}}}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{e^{3}} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{e^{3}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x e^{3}$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{e^{3}} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x e^{3}}} \right)}}{e^{3}}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}+C$$

$$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}} + C$$$A