$$$\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$$の積分

$$$\int \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)^{\prime }dx=- \frac{1}{x^{2} + 1} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \int{\left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)d x}\right)}}$$

$$$u=x^{2} + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2} + 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)d x}}} = x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u}\right)d u}}} = x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2} + 1$$$:

$$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} d x} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} d x} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx = \left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{2}\right) + C$$$A