$$$8 \cos^{3}{\left(4 x \right)}$$$の積分

$$$\int 8 \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=8$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(4 x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(8 \int{\cos^{3}{\left(4 x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=4 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{4}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$8 {\color{red}{\int{\cos^{3}{\left(4 x \right)} d x}}} = 8 {\color{red}{\int{\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos^{3}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$8 {\color{red}{\int{\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{4} d u}}} = 8 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{3}{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

余弦を1つ取り出し、$$$\alpha= u $$$ を用いた公式 $$$\cos^2\left(\alpha \right)=-\sin^2\left(\alpha \right)+1$$$ により、残りはすべて正弦で表せ。:

$$2 {\color{red}{\int{\cos^{3}{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(u \right)} du = dv$$$ となります。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 - v^{2}\right)d v}}}$$

項別に積分せよ:

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - v^{2}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{v^{2} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$- 2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{\int{1 d v}}} = - 2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{v}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 v - 2 {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}=2 v - 2 {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}=2 v - 2 {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\sin{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{v}} - \frac{2 {\color{red}{v}}^{3}}{3} = 2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}} - \frac{2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}^{3}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 x$$$:

$$2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = 2 \sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x} = - \frac{2 \sin^{3}{\left(4 x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(4 x \right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x} = \frac{9 \sin{\left(4 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{6}$$

積分定数を加える:

$$\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x} = \frac{9 \sin{\left(4 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{6}+C$$

$$$\int 8 \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx = \frac{9 \sin{\left(4 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{6} + C$$$A