$$$5 \ln\left(t^{2}\right)$$$の積分

$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{5 \ln{\left(t^{2} \right)} d t}=\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=10$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \ln{\left(t \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{\ln{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(t \right)} d t}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dt$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d t}=t$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$10 {\color{red}{\int{\ln{\left(t \right)} d t}}}=10 {\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot t-\int{t \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}=10 {\color{red}{\left(t \ln{\left(t \right)} - \int{1 d t}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dt = c t$$$ を適用する:

$$10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{\int{1 d t}}} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{t}}$$

したがって、

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 t$$

簡単化せよ:

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt = 10 t \left(\ln\left(t\right) - 1\right) + C$$$A