$$$4 x e^{3}$$$の積分

$$$\int 4 x e^{3}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4 e^{3}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{4 x e^{3} d x}}} = {\color{red}{\left(4 e^{3} \int{x d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$4 e^{3} {\color{red}{\int{x d x}}}=4 e^{3} {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=4 e^{3} {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{4 x e^{3} d x} = 2 x^{2} e^{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{4 x e^{3} d x} = 2 x^{2} e^{3}+C$$

$$$\int 4 x e^{3}\, dx = 2 x^{2} e^{3} + C$$$A