$$$45 e^{- \frac{t}{20}}$$$の積分

$$$\int 45 e^{- \frac{t}{20}}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=45$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{t}{20}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t}}} = {\color{red}{\left(45 \int{e^{- \frac{t}{20}} d t}\right)}}$$

$$$u=- \frac{t}{20}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{t}{20}\right)^{\prime }dt = - \frac{dt}{20}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - 20 du$$$ となります。

したがって、

$$45 {\color{red}{\int{e^{- \frac{t}{20}} d t}}} = 45 {\color{red}{\int{\left(- 20 e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-20$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$45 {\color{red}{\int{\left(- 20 e^{u}\right)d u}}} = 45 {\color{red}{\left(- 20 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- 900 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 900 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{t}{20}$$$:

$$- 900 e^{{\color{red}{u}}} = - 900 e^{{\color{red}{\left(- \frac{t}{20}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t} = - 900 e^{- \frac{t}{20}}$$

積分定数を加える:

$$\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t} = - 900 e^{- \frac{t}{20}}+C$$

$$$\int 45 e^{- \frac{t}{20}}\, dt = - 900 e^{- \frac{t}{20}} + C$$$A