$$$\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$$$の積分

$$$\int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=1 - 9 x^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - 9 x^{2}\right)^{\prime }dx = - 18 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = - \frac{du}{18}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{6 \sqrt{u}}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{6}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{6 \sqrt{u}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{6}\right)}}$$

$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{6}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{6}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{6}=- \frac{{\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{6}=- \frac{{\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{6}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - 9 x^{2}$$$:

$$- \frac{\sqrt{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{\sqrt{{\color{red}{\left(1 - 9 x^{2}\right)}}}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{3}+C$$

$$$\int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx = - \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{3} + C$$$A