$$$37000 e^{- \frac{9 t}{100}}$$$の積分

$$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=37000$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{9 t}{100}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = {\color{red}{\left(37000 \int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}\right)}}$$

$$$u=- \frac{9 t}{100}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{9 t}{100}\right)^{\prime }dt = - \frac{9 dt}{100}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - \frac{100 du}{9}$$$ となります。

したがって、

$$37000 {\color{red}{\int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = 37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{100}{9}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}} = 37000 {\color{red}{\left(- \frac{100 \int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{3700000 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{3700000 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$:

$$- \frac{3700000 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{3700000 e^{{\color{red}{\left(- \frac{9 t}{100}\right)}}}}{9}$$

したがって、

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}$$

積分定数を加える:

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}+C$$

$$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9} + C$$$A