$$$\frac{a}{b} + \frac{3}{2}$$$ の $$$a$$$ に関する積分

$$$\int \left(\frac{a}{b} + \frac{3}{2}\right)\, da$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{a}{b} + \frac{3}{2}\right)d a}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{3}{2} d a} + \int{\frac{a}{b} d a}\right)}}$$

$$$c=\frac{3}{2}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, da = a c$$$ を適用する:

$$\int{\frac{a}{b} d a} + {\color{red}{\int{\frac{3}{2} d a}}} = \int{\frac{a}{b} d a} + {\color{red}{\left(\frac{3 a}{2}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(a \right)}\, da = c \int f{\left(a \right)}\, da$$$ を、$$$c=\frac{1}{b}$$$ と $$$f{\left(a \right)} = a$$$ に対して適用する:

$$\frac{3 a}{2} + {\color{red}{\int{\frac{a}{b} d a}}} = \frac{3 a}{2} + {\color{red}{\frac{\int{a d a}}{b}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int a^{n}\, da = \frac{a^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{3 a}{2} + \frac{{\color{red}{\int{a d a}}}}{b}=\frac{3 a}{2} + \frac{{\color{red}{\frac{a^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{b}=\frac{3 a}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{a^{2}}{2}\right)}}}{b}$$

したがって、

$$\int{\left(\frac{a}{b} + \frac{3}{2}\right)d a} = \frac{a^{2}}{2 b} + \frac{3 a}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(\frac{a}{b} + \frac{3}{2}\right)d a} = \frac{a \left(a + 3 b\right)}{2 b}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\frac{a}{b} + \frac{3}{2}\right)d a} = \frac{a \left(a + 3 b\right)}{2 b}+C$$

$$$\int \left(\frac{a}{b} + \frac{3}{2}\right)\, da = \frac{a \left(a + 3 b\right)}{2 b} + C$$$A