$$$1250 - 25 x$$$の積分

$$$\int \left(1250 - 25 x\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1250 - 25 x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1250 d x} - \int{25 x d x}\right)}}$$

$$$c=1250$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{25 x d x} + {\color{red}{\int{1250 d x}}} = - \int{25 x d x} + {\color{red}{\left(1250 x\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=25$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$$1250 x - {\color{red}{\int{25 x d x}}} = 1250 x - {\color{red}{\left(25 \int{x d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$1250 x - 25 {\color{red}{\int{x d x}}}=1250 x - 25 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=1250 x - 25 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(1250 - 25 x\right)d x} = - \frac{25 x^{2}}{2} + 1250 x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(1250 - 25 x\right)d x} = \frac{25 x \left(100 - x\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1250 - 25 x\right)d x} = \frac{25 x \left(100 - x\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(1250 - 25 x\right)\, dx = \frac{25 x \left(100 - x\right)}{2} + C$$$A