$$$- 2 x + 10 e$$$の積分

$$$\int \left(- 2 x + 10 e\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 x + 10 e\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{10 e d x} - \int{2 x d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$$\int{10 e d x} - {\color{red}{\int{2 x d x}}} = \int{10 e d x} - {\color{red}{\left(2 \int{x d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\int{10 e d x} - 2 {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{10 e d x} - 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{10 e d x} - 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

$$$c=10 e$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- x^{2} + {\color{red}{\int{10 e d x}}} = - x^{2} + {\color{red}{\left(10 e x\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(- 2 x + 10 e\right)d x} = - x^{2} + 10 e x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(- 2 x + 10 e\right)d x} = x \left(- x + 10 e\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- 2 x + 10 e\right)d x} = x \left(- x + 10 e\right)+C$$

$$$\int \left(- 2 x + 10 e\right)\, dx = x \left(- x + 10 e\right) + C$$$A