$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\sinh{\left(u \right)} \left|{a}\right|$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\sinh{\left(u \right)} \left|{a}\right|\right)^{\prime }du = \cosh{\left(u \right)} \left|{a}\right| du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} \sinh^{2}{\left( u \right)} + a^{2}}}$$$

恒等式 $$$\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1 = \cosh^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} \sinh^{2}{\left( u \right)} + a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1} \left|{a}\right|}=\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|} = \frac{1}{\cosh{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

積分は以下のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\, dx = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)} + C$$$A