$$$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{1}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}\right)}}$$

$$$u=\sin{\left(v \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( v \right)}}$$$

積分は次のようになる

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}} = - {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$- {\color{red}{\int{1 d v}}} = - {\color{red}{v}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$:

$$- {\color{red}{v}} = - {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$- \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A