$$$\frac{1}{x + 1}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{x + 1}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{x + 1} d x} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{x + 1} d x} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x + 1}\, dx = \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right) + C$$$A