$$$\frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{1}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(u \right)}} d u}}}$$

この積分（対数積分）には閉形式はありません:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{li}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$\operatorname{li}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{li}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}\, dx = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A