$$$\frac{1}{4 \cos{\left(x \right)} + 5}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{4 \cos{\left(x \right)} + 5}\, dx$$$ を求めよ。

公式$$$\cos{\left(x \right)}=\frac{1 - \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}$$$を用いて被積分関数を書き換えよ:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 \cos{\left(x \right)} + 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{4 \left(1 - \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + 5} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ とする。

すると $$$x=2 \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ および $$$dx=\left(2 \operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{2}{u^{2} + 1} du$$$（手順は»で確認できます）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{4 \left(1 - \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\left(u^{2} + 1\right) \left(\frac{4 \left(1 - u^{2}\right)}{u^{2} + 1} + 5\right)} d u}}}$$

簡単化:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\left(u^{2} + 1\right) \left(\frac{4 \left(1 - u^{2}\right)}{u^{2} + 1} + 5\right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{u^{2} + 9} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 9}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{u^{2} + 9} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{u^{2} + 9} d u}\right)}}$$

$$$v=\frac{u}{3}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\frac{u}{3}\right)^{\prime }du = \frac{du}{3}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = 3 dv$$$ となります。

積分は次のようになります

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 9} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v^{2} + 1}$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{3}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ です:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$v=\frac{u}{3}$$$:

$$\frac{2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{3}\right)}} \right)}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$$\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{3} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}{3} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{4 \cos{\left(x \right)} + 5} d x} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{4 \cos{\left(x \right)} + 5} d x} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{1}{4 \cos{\left(x \right)} + 5}\, dx = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)}}{3} + C$$$A