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$$$\frac{1}{4 x^{2}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}{4}\right)}}$$
$$$n=-2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\int{x^{-2} d x}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- x^{-1}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}}{4}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{4 x^{2}} d x} = - \frac{1}{4 x}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{4 x^{2}} d x} = - \frac{1}{4 x}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = - \frac{1}{4 x} + C$$$A