$$$\frac{1}{3 x}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{3 x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{3 x} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x} d x}}{3}\right)}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{3 x} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{3 x} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{1}{3 x}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{x}\right|\right)}{3} + C$$$A