$$$\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1}\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$u=3 x$$$ とする。
すると $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(\cos{\left(u \right)} + 1\right)} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(\cos{\left(u \right)} + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1} d u}}{3}\right)}}$$
二倍角の公式 $$$\cos\left( u \right)=2\cos^2\left(\frac{ u }{2}\right)-1$$$ を用いて余弦を書き換え、簡単化せよ。:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3}$$
$$$v=\frac{u}{2}$$$ とする。
すると $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = 2 dv$$$ となります。
この積分は次のように書き換えられる
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(v \right)}} d v}}}}{3}$$
被積分関数を正割関数で表しなさい:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(v \right)}} d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{3}$$
$$$\sec^{2}{\left(v \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\sec^{2}{\left(v \right)} d v} = \tan{\left(v \right)}$$$ です:
$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(v \right)}}}}{3}$$
次のことを思い出してください $$$v=\frac{u}{2}$$$:
$$\frac{\tan{\left({\color{red}{v}} \right)}}{3} = \frac{\tan{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}} \right)}}{3}$$
次のことを思い出してください $$$u=3 x$$$:
$$\frac{\tan{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{3} = \frac{\tan{\left(\frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{2} \right)}}{3}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1} d x} = \frac{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1} d x} = \frac{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1}\, dx = \frac{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3} + C$$$A