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$$$-6 + \frac{1}{t^{3}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)\, dt$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{6 d t} + \int{\frac{1}{t^{3}} d t}\right)}}$$
$$$c=6$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dt = c t$$$ を適用する:
$$\int{\frac{1}{t^{3}} d t} - {\color{red}{\int{6 d t}}} = \int{\frac{1}{t^{3}} d t} - {\color{red}{\left(6 t\right)}}$$
$$$n=-3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- 6 t + {\color{red}{\int{\frac{1}{t^{3}} d t}}}=- 6 t + {\color{red}{\int{t^{-3} d t}}}=- 6 t + {\color{red}{\frac{t^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=- 6 t + {\color{red}{\left(- \frac{t^{-2}}{2}\right)}}=- 6 t + {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 t^{2}}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)d t} = - 6 t - \frac{1}{2 t^{2}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)d t} = - 6 t - \frac{1}{2 t^{2}}+C$$
解答
$$$\int \left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)\, dt = \left(- 6 t - \frac{1}{2 t^{2}}\right) + C$$$A