$$$\ln\left(z^{2}\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\ln{\left(z^{2} \right)} d z}=\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(z \right)} = \ln{\left(z \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(z \right)} d z}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(z \right)} d z}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(z \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dz$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(z \right)}\right)^{\prime }dz=\frac{dz}{z}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d z}=z$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(z \right)} d z}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(z \right)} \cdot z-\int{z \cdot \frac{1}{z} d z}\right)}}=2 {\color{red}{\left(z \ln{\left(z \right)} - \int{1 d z}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dz = c z$$$ を適用する:

$$2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d z}}} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{z}}$$

したがって、

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 z$$

簡単化せよ:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz = 2 z \left(\ln\left(z\right) - 1\right) + C$$$A