$$$y \sin{\left(y^{2} \right)}$$$の積分

$$$\int y \sin{\left(y^{2} \right)}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=y^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(y^{2}\right)^{\prime }dy = 2 y dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$y dy = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(y^{2} \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=y^{2}$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{y^{2}}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{y \sin{\left(y^{2} \right)} d y} = - \frac{\cos{\left(y^{2} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{y \sin{\left(y^{2} \right)} d y} = - \frac{\cos{\left(y^{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int y \sin{\left(y^{2} \right)}\, dy = - \frac{\cos{\left(y^{2} \right)}}{2} + C$$$A