$$$y \sin{\left(x y \right)}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int y \sin{\left(x y \right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=y$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x y \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(x y \right)} d x}}}$$

$$$u=x y$$$ とする。

すると $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{y}$$$ となります。

したがって、

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(x y \right)} d x}}} = y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{y}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}} = y {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x y$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{x y}} \right)}$$

したがって、

$$\int{y \sin{\left(x y \right)} d x} = - \cos{\left(x y \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{y \sin{\left(x y \right)} d x} = - \cos{\left(x y \right)}+C$$

$$$\int y \sin{\left(x y \right)}\, dx = - \cos{\left(x y \right)} + C$$$A