$$$\frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}}$$$の積分

$$$\int \frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}} d x}=\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x}$$$。

被積分関数を簡単化する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}{2}\right)}}$$

$$$x=\frac{\sqrt{3} \sin{\left(u \right)}}{3}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(u \right)}}{3}\right)^{\prime }du = \frac{\sqrt{3} \cos{\left(u \right)}}{3} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( u \right)}}$$$

したがって、

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3}}{3} d u}}}}{2}$$

$$$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3}}{3} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{3} u}{3}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}$$$:

$$\frac{\sqrt{6} {\color{red}{u}}}{6} = \frac{\sqrt{6} {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}}}{6}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{6} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{6} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{6} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6} + C$$$A