$$$- \frac{8 x^{2}}{9}$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{8 x^{2}}{9}\right)\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{8}{9}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{8 x^{2}}{9}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{8 \int{x^{2} d x}}{9}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \frac{8 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{9}=- \frac{8 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{9}=- \frac{8 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{9}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{8 x^{2}}{9}\right)d x} = - \frac{8 x^{3}}{27}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{8 x^{2}}{9}\right)d x} = - \frac{8 x^{3}}{27}+C$$

$$$\int \left(- \frac{8 x^{2}}{9}\right)\, dx = - \frac{8 x^{3}}{27} + C$$$A